Deux sens de variation, deux méthodes

Ce qu'on montre. Deux monotonies, avec la méthode adaptée à chaque forme : le quotient pour un produit ou un quotient de termes positifs, la différence pour une somme.

La suite $(u_n)$, par le quotient. Pour $n\ge 1$, $u_n>0$, donc le quotient a un sens et se compare à $1$ : $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\times \frac{2^n}{n}=\frac{n+1}{2n}.$$ Or, pour $n\ge 1$ : $$\frac{n+1}{2n}\le 1⟺n+1\le 2n⟺1\le n,$$ ce qui est toujours vrai. Le quotient est donc toujours $\le 1$, et les termes étant positifs, $u_{n+1}\le u_n$ : la suite est décroissante dès $n=1$. Elle est strictement décroissante dès $n\ge 2$, l'égalité n'ayant lieu que pour $n=1$ ($u_1=u_2=\frac{1}{2}$).

La suite $(v_n)$, par la différence. $$v_{n+1}-v_n=(n+1{)}^2-5(n+1)-n^2+5n=n^2+2n+1-5n-5-n^2+5n=2n-4.$$ Le signe de $2n-4$ se lit immédiatement :

• $2n-4<0$ pour $n\le 1$ : $v_0>v_1>v_2$ ;
• $2n-4=0$ pour $n=2$ : $v_2=v_3$ ;
• $2n-4>0$ pour $n\ge 3$ : la suite croît ensuite.

La suite $(v_n)$ n'est donc pas monotone : elle décroît jusqu'au rang $2$, stagne entre $2$ et $3$, puis croît. Ses valeurs sont $0,-4,-6,-6,-4,0,\dots$

Point délicat. Le quotient ne se compare à $1$ que si les termes sont de signe constant, et ici positifs : sinon la conclusion s'inverse ou perd tout sens. Pour $(v_n)$, qui prend des valeurs négatives, seule la différence convient.