Deux sommes géométriques, et leur comportement

Ce qu'on montre. Deux sommes closes, puis deux comportements opposés selon que la raison est ou non plus petite que $1$ en valeur absolue.

La première somme. La raison est $q=\frac{1}{2}\ne 1$, donc $$S_n=\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=2\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}\right)=2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n.$$ Contrôle pour $n=2$ : $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$, et $2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$.

Sa limite. Comme $0<\frac{1}{2}<1$, on a ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$, donc $$S_n⟶2.$$ La somme croît, reste majorée par $2$, et s'en approche autant qu'on veut sans jamais l'atteindre.

La seconde somme. La somme commence à $k=1$ : on complète et on retranche le terme manquant. $$T_n=3\sum _{k=1}^n{2}^k=3\left(\sum _{k=0}^n{2}^k-1\right)=3(2^{n+1}-1-1)=6(2^n-1).$$ Contrôle pour $n=2$ : $6+12=18$, et $6(4-1)=18$.

Sa limite. Ici la raison vaut $2>1$, donc $2^n\to +\infty$ et $$T_n⟶+\infty .$$

Point délicat. La formule ${\sum }_{k=0}^n{q}^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ s'écrit avec une somme partant de $k=0$ ; l'appliquer telle quelle à une somme partant de $k=1$ ajoute un terme de trop. Retrancher le terme $k=0$, qui vaut $1$, est le geste correct.