Deux suites adjacentes qui encadrent leur limite

Trois choses à établir : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante, et $v_n-u_n\to 0$.

$(u_n)$ est croissante. $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1)!}>0$.

$(v_n)$ est décroissante. C'est le point délicat : $$v_{n+1}-v_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+1)(n+1)!}-\frac{1}{n\cdot n!}.$$ On rassemble les deux premiers termes : $$\frac{1}{(n+1)!}(1+\frac{1}{n+1})=\frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{n+2}{n+1},$$ et l'on réécrit le troisième au même dénominateur, en utilisant $(n+1)!=(n+1)n!$ : $$\frac{1}{n\cdot n!}=\frac{n+1}{n(n+1)!}.$$ D'où $$v_{n+1}-v_n=\frac{1}{(n+1)!}\left(\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n}\right)=\frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{n(n+2)-(n+1{)}^2}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)(n+1)!},$$ car $n(n+2)-(n+1{)}^2=n^2+2n-n^2-2n-1=-1$. Cette quantité est strictement négative : $(v_n)$ décroît.

L'écart tend vers $0$. $v_n-u_n=\frac{1}{n\cdot n!}$, et $0<\frac{1}{n\cdot n!}\le \frac{1}{n}\to 0$ : l'encadrement conclut.

Conclusion. Les deux suites sont adjacentes : elles convergent vers une même limite $\ell$, et $u_n\le \ell \le v_n$ à tout rang.

Ouverture, non exigible. Cette limite commune est le nombre $\mathrm{e}$, et l'écart $\frac{1}{n\cdot n!}$ le donne dès $n=10$ à environ $3\times 10^{-8}$ près.

Le point à retenir. L'intérêt des suites adjacentes n'est pas seulement l'existence de la limite : c'est qu'on obtient en même temps un encadrement à chaque rang, donc une valeur approchée avec sa précision. Une suite croissante majorée converge, mais ne dit rien de la distance à sa limite.