Deux suites, leur nature et leur somme

Ce qu'on montre. La nature des deux suites, puis les deux sommes correspondantes.

La suite $(u_n)$. $u_{n+1}=5\times 2^{n+1}=2u_n$ : c'est une suite géométrique de raison $q=2$ et de premier terme $u_0=5$. Comme $q>1$ et $u_0>0$, elle est strictement croissante et $$u_n⟶+\infty .$$

La suite $(v_n)$. $v_{n+1}-v_n=3(n+1)+1-(3n+1)=3$ : c'est une suite arithmétique de raison $r=3$ et de premier terme $v_0=1$. La raison étant strictement positive, elle est strictement croissante et $v_n\to +\infty$.

La première somme. On factorise puis on applique la somme géométrique, licite car $q=2\ne 1$ : $$\sum _{k=0}^n{u}_k=5\sum _{k=0}^n{2}^k=5\cdot \frac{2^{n+1}-1}{2-1}=5(2^{n+1}-1).$$ Contrôle pour $n=2$ : $5+10+20=35$, et $5(8-1)=35$.

La seconde somme. Par linéarité : $$\sum _{k=0}^n(3k+1)=3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1=3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+(n+1).$$ On peut factoriser par $(n+1)$ : $$=(n+1)\left(\frac{3n}{2}+1\right)=\frac{(n+1)(3n+2)}{2}.$$ Contrôle pour $n=2$ : $1+4+7=12$, et $\frac{3\times 8}{2}=12$.

Point délicat. La somme comporte $n+1$ termes, de $k=0$ à $k=n$ — et non $n$. C'est l'origine du $(n+1)$ dans le second calcul et du $2^{n+1}$ dans le premier.