L'inégalité triangulaire, et sa version renversée

Ce qu'on montre. Deux inégalités, la seconde se déduisant de la première. L'outil de départ est : pour tout réel $x$, $-|x|\le x\le |x|$, et l'équivalence $|x|\le c⟺-c\le x\le c$ (valable pour $c\ge 0$).

L'inégalité triangulaire. On a $-|a|\le a\le |a|$ et $-|b|\le b\le |b|$. En additionnant ces deux encadrements membre à membre : $$-(|a|+|b|)\le a+b\le |a|+|b|.$$ Comme $|a|+|b|\ge 0$, l'équivalence rappelée ci-dessus donne $$|a+b|\le |a|+|b|.$$

L'inégalité renversée. Écrivons $a=(a-b)+b$ et appliquons ce qui précède : $$|a|\le |a-b|+|b|,\text{donc}|a|-|b|\le |a-b|.\text{\hspace{1em}(1)}$$ En échangeant les rôles de $a$ et $b$, et en notant $|b-a|=|a-b|$ : $$|b|-|a|\le |a-b|.\text{\hspace{1em}(2)}$$ Les inégalités $(1)$ et $(2)$ signifient exactement $$-|a-b|\le |a|-|b|\le |a-b|,$$ c'est-à-dire, $|a-b|$ étant positif, $$||a|-|b||\le |a-b|.$$

Point délicat. L'astuce est l'écriture $a=(a-b)+b$ : on ne démontre pas la seconde inégalité en repartant de zéro, on réutilise la première sur un découpage bien choisi. C'est le geste standard de toute majoration d'écart.

Contrôle. Avec $a=5$ et $b=-3$ : $|a+b|=2\le 8=|a|+|b|$ ; et $||5|-|-3||=2\le 8=|5-(-3)|$.