La borne supérieure d'une somme d'ensembles

Posons $\alpha =\sup A$ et $\beta =\sup B$ : ils existent par le théorème de la borne supérieure.

Existence, et première inégalité. $A+B$ est non vide. Soient $a\in A$ et $b\in B$ : alors $a\le \alpha$ et $b\le \beta$, donc $a+b\le \alpha +\beta$. Ainsi $\alpha +\beta$ est un majorant de $A+B$, qui admet donc une borne supérieure ; et comme cette borne est le plus petit des majorants, $$\sup (A+B)\le \alpha +\beta .$$

Seconde inégalité. Soit $\epsilon >0$. Comme $\alpha -\frac{\epsilon }{2}<\alpha$, ce n'est pas un majorant de $A$ — sinon $\alpha$ ne serait pas le plus petit d'entre eux. Il existe donc $a\in A$ avec $a>\alpha -\frac{\epsilon }{2}$, et de même $b\in B$ avec $b>\beta -\frac{\epsilon }{2}$. En additionnant, $$\sup (A+B)\ge a+b>\alpha +\beta -\epsilon .$$

Cette minoration vaut pour tout $\epsilon >0$. Si l'on avait $\sup (A+B)<\alpha +\beta$, le choix $\epsilon =\alpha +\beta -\sup (A+B)>0$ donnerait $\sup (A+B)>\sup (A+B)$ : impossible. Donc $\sup (A+B)\ge \alpha +\beta$.

Les deux inégalités donnent $\sup (A+B)=\sup A+\sup B$.

Un exemple. $A=\left]0,1\right[$ et $B=\left]0,2\right[$ donnent $A+B=\left]0,3\right[$, et $1+2=3$ : aucun des trois n'a de maximum, et l'égalité tient quand même.

Le point à retenir. Une borne supérieure se démontre toujours en deux temps : c'est un majorant, et rien de plus petit n'en est un. Le second temps s'écrit invariablement « $\alpha -\epsilon$ n'est pas un majorant, il existe donc un élément au-delà » — seule façon d'exploiter le mot plus petit de la définition.