La moyenne des premiers termes

Ce qu'on montre. Que la moyenne des premiers termes hérite de la limite. La difficulté : le nombre de termes grandit, on ne peut donc pas invoquer la limite d'une somme.

Réduction au cas $\ell =0$. Posons $w_n=u_n-\ell$ ; alors $w_n\to 0$, et $$v_n-\ell =\frac{(u_1-\ell )+\cdots +(u_n-\ell )}{n}=\frac{w_1+\cdots +w_n}{n}.$$ Il suffit donc de montrer que cette dernière quantité tend vers $0$.

La coupure en deux paquets. Soit $\epsilon >0$. Comme $w_n\to 0$, il existe $N$ tel que $$\forall n\ge N,|w_n|\le \frac{\epsilon }{2}.$$ Pour $n>N$, séparons la somme en les $N$ premiers termes et les suivants : $$\left|\frac{w_1+\cdots +w_n}{n}\right|\le \underset{=C/n}{\underbrace{\frac{|w_1|+\cdots +|w_N|}{n}}}+\frac{|w_{N+1}|+\cdots +|w_n|}{n},$$ où $C=|w_1|+\cdots +|w_N|$ est une constante fixée, indépendante de $n$ : c'est le point-clé, $N$ ne dépend que de $\epsilon$.

Majoration du second paquet. Il comporte $n-N\le n$ termes, tous majorés par $\frac{\epsilon }{2}$ : $$\frac{|w_{N+1}|+\cdots +|w_n|}{n}\le \frac{(n-N)\frac{\epsilon }{2}}{n}\le \frac{\epsilon }{2}.$$

Majoration du premier paquet. Comme $\frac{C}{n}\to 0$, il existe $N^{\prime }$ tel que $\frac{C}{n}\le \frac{\epsilon }{2}$ pour tout $n\ge N^{\prime }$.

Conclusion. Pour $n\ge \max (N+1,N^{\prime })$ : $$|v_n-\ell |\le \frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$$ Comme $\epsilon >0$ était quelconque, $v_n\to \ell$.

Point délicat. Le premier paquet ne devient petit que parce que son numérateur est figé une fois $\epsilon$ choisi : on le divise par un $n$ qui grandit. Le second devient petit parce que tous ses termes le sont. Chacun des deux échoue seul ; c'est la coupure qui fait la démonstration.