La partie entière ne se calcule pas, elle s'encadre

L'encadrement. Appliquée au réel $nx$, la définition de la partie entière dit que $\lfloor nx\rfloor$ est l'unique entier vérifiant $\lfloor nx\rfloor \le nx<\lfloor nx\rfloor +1$. La partie droite se réécrit $nx-1<\lfloor nx\rfloor$, d'où $$nx-1<\lfloor nx\rfloor \le nx.$$ On divise par $n$, strictement positif : le sens des inégalités est conservé, et $$x-\frac{1}{n}<\frac{\lfloor nx\rfloor }{n}\le x.$$

La limite. On dispose ainsi de $v_n\le u_n\le w_n$ avec $v_n=x-\frac{1}{n}$ et $w_n=x$ (une inégalité stricte est en particulier large). Or $\frac{1}{n}\to 0$, donc $v_n\to x$, et la suite constante $w_n$ tend vers $x$. Les deux suites encadrantes ont la même limite : le théorème d'encadrement donne $u_n\to x$.

Contrôle. Pour $x=\sqrt{2}$ et $n=100$ : $\lfloor 100\sqrt{2}\rfloor =141$, donc $u_{100}=1,41$, à moins de $\frac{1}{100}$ de $x$.

Une remarque, non exigible. Chaque $u_n$ est un quotient d'entiers, donc un rationnel : tout réel est ainsi limite d'une suite de rationnels.

Le point à retenir. On n'a à aucun moment cherché la valeur de $\lfloor nx\rfloor$ : on ne s'est servi que de sa définition, qui est déjà un encadrement. C'est la règle générale — la partie entière ne se calcule pas, elle s'encadre.