La somme des inverses des carrés converge

Ce qu'on montre. Croissance, majoration, puis convergence — sans jamais calculer la limite, qu'on ne sait pas exprimer simplement.

Croissance. Pour tout $n\ge 1$, $$S_{n+1}-S_n=\frac{1}{(n+1{)}^2}>0.$$ La suite est donc strictement croissante.

Une majoration terme à terme. Pour $k\ge 2$, on a $k^2>k(k-1)>0$, donc $$\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k},$$ la dernière égalité se vérifiant en réduisant au même dénominateur : $\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}=\frac{k-(k-1)}{k(k-1)}=\frac{1}{k(k-1)}$.

La somme télescopique. En sommant cette majoration de $k=2$ à $k=n$ (le terme $k=1$ étant traité à part) : $$S_n=1+\sum _{k=2}^n\frac{1}{k^2}\le 1+\sum _{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=1+\left(1-\frac{1}{n}\right),$$ la somme étant télescopique : tous les termes intermédiaires se compensent, seuls subsistent le premier, $\frac{1}{1}$, et le dernier, $-\frac{1}{n}$. Donc $$S_n\le 2-\frac{1}{n}\le 2\text{pour tout }n\ge 1.$$

Conclusion. $(S_n)$ est croissante et majorée par $2$ : d'après le théorème de la limite monotone, elle converge, vers un réel $\ell$ qui est la borne supérieure de l'ensemble de ses valeurs. Le passage à la limite dans $S_n\le 2$ donne $\ell \le 2$, et $S_1=1$ donne $\ell \ge 1$.

Point délicat. Le théorème conclut à l'existence de la limite sans la fournir. C'est exactement ce qui distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ : une suite croissante majorée de rationnels peut n'avoir aucune limite rationnelle. Ici la valeur exacte, $\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1,645$, n'est pas accessible avec les outils du chapitre — et le théorème n'en a pas besoin.