La suite de Héron

Minoration. Pour $x>0$, l'inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique donne $\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)\ge \sqrt{x\cdot \frac{2}{x}}=\sqrt{2}$. On le voit aussi directement :

$$\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)-\sqrt{2}=\frac{x^2-2\sqrt{2}x+2}{2x}=\frac{(x-\sqrt{2}{)}^2}{2x}\ge 0.$$

Donc $u_{n+1}\ge \sqrt{2}$ pour tout $n$, et $u_0=2\ge \sqrt{2}$ : la suite est minorée par $\sqrt{2}$ (et reste strictement positive).

Décroissance. Pour $n\ge 0$, en utilisant $u_n\ge \sqrt{2}$ donc $u_n^2\ge 2$ :

$$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{u_n}-u_n\right)=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\le 0.$$

Convergence. Décroissante et minorée : le théorème de la limite monotone donne l'existence d'une limite $\ell \ge \sqrt{2}>0$. La fonction $x\mapsto \frac{1}{2}(x+\frac{2}{x})$ étant continue en $\ell$, le passage à la limite est licite :

$$\ell =\frac{1}{2}\left(\ell +\frac{2}{\ell }\right)⟺{\ell }^2=2⟺\ell =\sqrt{2}(\text{car }\ell >0).$$

Une méthode très ancienne, et très rapide. C'est l'algorithme de Héron, qui n'est autre que la méthode de Newton pour $x^2-2$. La convergence est quadratique : $u_4$ donne déjà $\sqrt{2}$ à $10^{-16}$ près. Le théorème de la limite monotone prouve qu'elle converge ; il ne dit rien de cette vitesse.