Quand l'équation caractéristique a une racine double

L'équation caractéristique. On cherche les suites géométriques $u_n=r^n$ solutions : en reportant puis en divisant par $r^n$ (pour $r\ne 0$), $$r^2-4r+4=0,\text{c’est-aˋ-dire}(r-2{)}^2=0.$$ Le discriminant vaut $16-16=0$ : il y a une racine double $r=2$. Le théorème donne alors la forme générale $$u_n=(\lambda +\mu n)2^n.$$

Les constantes, par les conditions initiales. Deux inconnues, deux équations : $$n=0:\lambda =1,n=1:(\lambda +\mu )2=3.$$ De la seconde, $1+\mu =\frac{3}{2}$, donc $\mu =\frac{1}{2}$. D'où $$u_n=(1+\frac{n}{2})2^n=(n+2)2^{n-1}.$$

Contrôle. La relation donne $u_2=4\times 3-4\times 1=8$, et la formule $(2+2)\times 2=8$. Puis $u_3=4\times 8-4\times 3=20$, et $(3+2)\times 4=20$. Les deux rangs concordent.

La limite. $u_n=(n+2)2^{n-1}$ est produit de deux facteurs qui tendent vers $+\infty$, donc $u_n\to +\infty$.

Le point à retenir. Une racine double ne donne pas deux fois la même solution : elle donne $(r^n)$ et $(n{r}^n)$, et c'est le facteur $n$ qui restitue la seconde dimension de l'espace des solutions — sans lui, deux conditions initiales quelconques seraient inatteignables. Le contrôle sur $u_2$ coûte trois secondes et attrape toute erreur de signe.