mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 4 · Exercice d'entraînement

Quelles conditions initiales donnent une suite convergente ?

Suites de nombres réels · Suites explicites et récurrentes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $(u_{n})$ vérifiant $u_{n + 2} = \frac{5}{2} u_{n + 1} - u_{n}$ pour tout $n \in N$ . Déterminer $u_{n}$ en fonction de $u_{0}$ et $u_{1}$ , puis trouver toutes les conditions initiales $(u_{0}, u_{1})$ pour lesquelles $(u_{n})$ converge. Quelle est alors la limite ?

Pour démarrer : comment l'IA t'aide

Élève

J'ai trouvé les racines de l'équation caractéristique et écrit $u_{n}$ avec deux constantes. Pour la convergence, j'ai d'abord pensé que la suite divergeait toujours, à cause de la racine plus grande que $1$ .

Ce serait vrai si le coefficient devant la puissance de cette racine était forcément non nul. Est-ce le cas pour toutes les conditions initiales ?

Élève

Non : s'il est nul, il ne reste que le terme de l'autre racine. Je n'avais pas envisagé ce cas.

Que fait ce terme restant quand $n \to + \infty$ ? Ensuite, exprime ce coefficient en fonction de $u_{0}$ et $u_{1}$ à l'aide des deux premiers termes : quelle relation entre $u_{0}$ et $u_{1}$ caractérise la convergence ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends l'exercice là où le dialogue s'arrête.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →