Quelles conditions initiales donnent une suite convergente ?

Ce qu'on montre. La forme générale des solutions, puis une condition portant sur $(u_0,u_1)$.

L'équation caractéristique. On cherche les raisons $r$ telles que $(r^n)$ soit solution : $r^{n+2}=\frac{5}{2}{r}^{n+1}-r^n$, soit après simplification $$r^2-\frac{5}{2}r+1=0,\text{ou}2r^2-5r+2=0.$$ Son discriminant vaut $25-16=9>0$, d'où deux racines réelles distinctes $$r_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2},r_2=\frac{5+3}{4}=2.$$

La forme générale. D'après le théorème du cours (racines réelles distinctes), il existe des réels $\alpha ,\beta$ tels que $$u_n=\alpha 2^n+\beta {\left(\frac{1}{2}\right)}^n\text{pour tout }n.$$

Détermination de $\alpha$ et $\beta$. Les deux premiers termes donnent $$\{\begin{array}{l}{u}_0=\alpha +\beta \\ u_1=2\alpha +\frac{\beta }{2}.\end{array}$$ En retranchant la moitié de la première à la seconde : $u_1-\frac{u_0}{2}=\frac{3\alpha }{2}$, d'où $$\alpha =\frac{2u_1-u_0}{3},\beta =u_0-\alpha =\frac{4u_0-2u_1}{3}.$$

Condition de convergence.

• Si $\alpha \ne 0$, alors $u_n=2^n\left(\alpha +\beta 4^{-n}\right)$ ; la parenthèse tend vers $\alpha \ne 0$ et $2^n\to +\infty$, donc $|u_n|\to +\infty$ : la suite diverge.
• Si $\alpha =0$, alors $u_n=\beta {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$, et comme $0<\frac{1}{2}<1$, cette suite converge vers $0$.

La convergence a donc lieu si et seulement si $\alpha =0$, c'est-à-dire $$2u_1-u_0=0,\text{soit}{u}_1=\frac{u_0}{2}.$$ La limite est alors $0$.

Point délicat. La condition ne porte pas sur $u_0$ seul ni sur $u_1$ seul, mais sur leur rapport : les couples convergents forment la droite d'équation $u_0=2u_1$ dans le plan des conditions initiales. La moindre perturbation de $u_1$ réintroduit un $\alpha$ non nul, et la suite s'échappe.