mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 4 · Exercice d'entraînement

Retrouver la relation de récurrence

Suites de nombres réels · Suites explicites et récurrentes · niveau 2

Énoncé

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{n} = 3 \times 2^{n} - 5^{n}$ pour tout $n \in N$ . Trouver deux réels $a$ et $b$ tels que $u_{n + 2} = a u_{n + 1} + b u_{n}$ pour tout $n$ , et vérifier l'identité. Quelle est la limite de $(u_{n})$ ?

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Élève

Pour trouver $a$ et $b$ , j'ai calculé les premiers termes et écrit deux équations. Ça doit marcher, mais il faudrait ensuite vérifier pour tout $n$ . Y a-t-il une idée plus directe ?

Pense à la méthode habituelle, prise dans l'autre sens : quand une suite vérifiant une récurrence linéaire d'ordre $2$ s'écrit $α r_{1}^{n} + β r_{2}^{n}$ , quel rôle jouent $r_{1}$ et $r_{2}$ pour la relation ?

Élève

Ce sont les racines de l'équation caractéristique $x^{2} = a x + b$ . Ici, il faudrait donc que $2$ et $5$ soient racines de $x^{2} - a x - b$ .

Exactement. Quelles relations entre coefficients et racines te donnent alors $a$ et $b$ ? Et pour la limite, quel terme de $u_{n}$ l'emporte, et que mets-tu en facteur pour le montrer ?

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