Retrouver la relation de récurrence

Ce qu'on montre. Le problème inverse de l'ordinaire : on connaît la forme explicite, on cherche la récurrence.

Recherche de $a$ et $b$. Une suite de la forme $\alpha r^n$ vérifie $u_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n$ si et seulement si $\alpha r^n(r^2-ar-b)=0$, c'est-à-dire, pour $\alpha \ne 0$, si $r$ est racine de $x^2-ax-b$. Ici la suite mêle les raisons $2$ et $5$ : on cherche donc $a$ et $b$ tels que $2$ et $5$ soient les deux racines de $x^2-ax-b$. Les relations entre coefficients et racines donnent $$a=2+5=7,-b=2\times 5=10,\text{soit}b=-10.$$

Vérification directe. Calculons, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $$7u_{n+1}-10u_n=7(3\times 2^{n+1}-5^{n+1})-10(3\times 2^n-5^n).$$ On regroupe les puissances de $2$ d'un côté, celles de $5$ de l'autre : $$=3\times 2^n(7\times 2-10)-5^n(7\times 5-10)=3\times 2^n\times 4-5^n\times 25=3\times 2^{n+2}-5^{n+2}=u_{n+2}.$$ L'identité est donc vérifiée pour tout $n$, avec $a=7$ et $b=-10$.

La limite. Écrivons $$u_n=5^n\left(3{\left(\frac{2}{5}\right)}^n-1\right).$$ Comme $0<\frac{2}{5}<1$, on a ${\left(\frac{2}{5}\right)}^n\to 0$, donc la parenthèse tend vers $-1$ ; et $5^n\to +\infty$. Par produit, $$u_n⟶-\infty .$$

Point délicat. Le terme dominant est celui de plus grande raison en valeur absolue : ici $-5^n$ l'emporte sur $3\times 2^n$, malgré son coefficient plus petit. Le coefficient ne pèse rien face à la raison.