Trois croissances comparées

Les trois tendent vers $0$, et chacune illustre un cran de la hiérarchie $(\ln n{)}^b\ll n^a\ll q^n\ll n!$.

$\frac{3^n}{n!}\to 0$. Posons $u_n=\frac{3^n}{n!}>0$ ; alors $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3}{n+1}\le \frac{1}{2}$ dès que $n\ge 5$. Donc $0<u_n\le u_5{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-5}$, majorant qui tend vers $0$.

$\frac{n^{10}}{2^n}\to 0$. L'exponentielle l'emporte sur toute puissance, si grand soit l'exposant. Le $10$ retarde seulement le moment où le quotient commence à décroître : le maximum est atteint vers $n\approx 14$.

$\frac{(\ln n{)}^3}{\sqrt{n}}\to 0$. Le logarithme, même cubé, perd contre $n^{1/2}$. En posant $n={\mathrm{e}}^t$, le quotient devient $t^3{\mathrm{e}}^{-t/2}\to 0$.

La règle : dans une comparaison, seul l'étage compte, jamais les exposants à l'intérieur d'un étage. $n^{100}$ finit écrasé par $1,001^n$.