Trois limites à reconnaître

Ce qu'on montre. Trois limites, chacune relevant d'une technique différente.

Un quotient de polynômes : on factorise le terme dominant. Pour $n\ge 1$, $$u_n=\frac{n^2\left(3-\frac{1}{n}\right)}{n^2\left(2+\frac{5}{n^2}\right)}=\frac{3-\frac{1}{n}}{2+\frac{5}{n^2}}.$$ Comme $\frac{1}{n}\to 0$ et $\frac{5}{n^2}\to 0$, le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $2\ne 0$. Par quotient de limites, $$u_n⟶\frac{3}{2}.$$ Point de méthode : sans cette factorisation, on serait devant la forme indéterminée $\frac{+\infty }{+\infty }$.

Un signe qui oscille : on encadre. Pour $n\ge 1$, $$|v_n|=\frac{|(-1{)}^n|}{n}=\frac{1}{n},\text{donc}-\frac{1}{n}\le v_n\le \frac{1}{n}.$$ Les deux bornes tendent vers $0$ ; par le théorème d'encadrement, $$v_n⟶0.$$ Le facteur $(-1{)}^n$ n'a pas de limite, mais il est borné, et c'est tout ce dont on a besoin.

Une suite géométrique déguisée. $$w_n={\left(\frac{2}{3}\right)}^n.$$ Comme $-1<\frac{2}{3}<1$, la suite géométrique de raison $\frac{2}{3}$ converge vers $0$ : $$w_n⟶0.$$

Contrôle numérique. $u_{100}=\frac{29900}{20005}\approx 1,4946$, proche de $1,5$ ; $w_{10}=(2/3{)}^{10}\approx 0,017$.