Trois parties entières, et une équation

Ce qu'on montre. Trois valeurs et un ensemble de solutions, à partir de la seule définition.

La définition. $\lfloor x\rfloor$ est l'unique entier $m$ tel que $$m\le x<m+1.$$ Autrement dit : le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.

Les trois valeurs.

• $\lfloor 2,7\rfloor =2$, car $2\le 2,7<3$.
• $\lfloor -2,7\rfloor =-3$, car $-3\le -2,7<-2$. C'est le piège : la partie entière n'est pas obtenue en « supprimant les décimales », ce qui donnerait $-2$ — or $-2>-2,7$, donc $-2$ ne convient pas.
• $\lfloor 5\rfloor =5$, car $5\le 5<6$. Sur un entier, la partie entière ne change rien.

L'équation. Par définition, $$\lfloor x\rfloor =3⟺3\le x<4.$$ L'ensemble des solutions est donc l'intervalle $\left[3,4\right[$.

Point délicat sur les bornes. La borne $3$ est incluse ($\lfloor 3\rfloor =3$), la borne $4$ est exclue ($\lfloor 4\rfloor =4\ne 3$). Un intervalle fermé-ouvert, jamais fermé des deux côtés.

Ce qu'il faut retenir. La partie entière ne se calcule pas, elle s'encadre : chaque fois qu'elle apparaît, on écrit l'encadrement $\lfloor x\rfloor \le x<\lfloor x\rfloor +1$, et c'est cet encadrement qui sert dans les démonstrations — notamment pour prouver qu'une suite du type $\frac{\lfloor nx\rfloor }{n}$ converge.