Un espace de suites récurrentes

C'est un sous-espace. Notons $F$ cet ensemble. La suite nulle y est. Et si $u,v\in F$, $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$, alors $w=\lambda u+\mu v$ vérifie

$$w_{n+2}=\lambda u_{n+2}+\mu v_{n+2}=\lambda (5u_{n+1}-6u_n)+\mu (5v_{n+1}-6v_n)=5w_{n+1}-6w_n.$$

La relation étant linéaire homogène, elle passe aux combinaisons.

Une base. L'équation caractéristique $x^2-5x+6=0$ a pour racines $2$ et $3$. Les suites $a=(2^n)$ et $b=(3^n)$ appartiennent à $F$ (calcul direct : $5\cdot 2^{n+1}-6\cdot 2^n=2^n(10-6)=2^{n+2}$, et de même pour $3$).

Elles sont libres : si $\lambda 2^n+\mu 3^n=0$ pour tout $n$, alors $n=0$ donne $\lambda +\mu =0$ et $n=1$ donne $2\lambda +3\mu =0$, d'où $\lambda =\mu =0$.

Elles sont génératrices : une suite de $F$ est déterminée par $(u_0,u_1)$, et le système $\lambda +\mu =u_0$, $2\lambda +3\mu =u_1$ a toujours une solution unique : en retranchant deux fois la première équation à la seconde, il vient $\mu =u_1-2u_0$, puis $\lambda =u_0-\mu$.

Donc $(a,b)$ est une base et $\dim F=2$.

Deux conditions initiales, deux dimensions : ce n'est pas une coïncidence. L'application $u\mapsto (u_0,u_1)$ est un isomorphisme de $F$ sur ${\mathbb{R}}^2$.