Un test de convergence qui n'en est pas un

def seuil(u, L, eps, n_max=10**6):
    n0 = 0
    while n0 <= n_max:
        # la condition tient-elle sur toute la fenetre ?
        if all(abs(u(n) - L) <= eps for n in range(n0, n0 + 101)):
            return n0
        n0 = n0 + 1
    return None            # rien trouve sous n_max : on ne conclut pas

Sur $u(n)=\frac{2n+1}{n+3}$, $L=2$ et $\epsilon =10^{-3}$, la fonction renvoie $4997$ — la valeur calculée à l'exercice précédent.

Pourquoi cela ne prouve rien. Deux raisons, et elles sont indépendantes.

La fenêtre est finie. Vérifier $101$ termes ne dit rien des suivants. La suite qui vaut $\frac{2n+1}{n+3}$ pour $n\le 10^9$ et $17$ ensuite passerait le test sans converger vers $2$. Aucun examen d'un nombre fini de termes ne peut trancher une propriété portant sur tous les rangs.

Le $\epsilon$ est fixé. La définition exige la propriété pour tout $\epsilon >0$ — une infinité de vérifications. Le programme n'en fait qu'une.

Et une troisième, matérielle : en flottants, pour $\epsilon$ trop petit, $u(n)$ et $L$ finissent par être égaux en machine, et la boucle s'arrête pour une raison qui n'a rien de mathématique.

À quoi cela sert malgré tout : à détecter une erreur. Si le seuil ne se trouve jamais alors qu'on a démontré la convergence, c'est le calcul — ou la démonstration — qu'il faut reprendre. Le programme réfute, il ne démontre pas.