Une borne atteinte, une autre pas

Ce qu'on montre. Les deux bornes, et leur statut. On sépare les indices selon leur parité, puisque $(-1{)}^n$ y prend deux valeurs distinctes.

Les deux familles de valeurs.

• Pour $n$ pair, l'élément vaut $1+\frac{1}{n}$. La suite $\left(1+\frac{1}{n}\right)$ décroît strictement quand $n$ croît ; sur les entiers pairs, la plus grande valeur est obtenue pour $n=2$ et vaut $\frac{3}{2}$. Toutes ces valeurs sont dans $\left]1,\frac{3}{2}\right]$.
• Pour $n$ impair, l'élément vaut $-1+\frac{1}{n}$. Ces valeurs sont $0$ ($n=1$), $-\frac{2}{3}$ ($n=3$), $-\frac{4}{5}$ ($n=5$), … Elles décroissent et restent dans $\left]-1,0\right]$.

La borne supérieure. Tout élément de $A$ est $\le \frac{3}{2}$ : c'est clair pour les indices pairs, et pour les impairs on a même $\le 0$. Donc $\frac{3}{2}$ est un majorant. De plus $\frac{3}{2}\in A$ (indice $n=2$). Un majorant appartenant à l'ensemble en est le plus grand élément : $$\sup A=\max A=\frac{3}{2}.$$

La borne inférieure. Tout élément de $A$ est $>-1$, puisque $\frac{1}{n}>0$ et $(-1{)}^n\ge -1$ : le réel $-1$ est un minorant. Montrons que c'est le plus grand. Soit $m>-1$ ; posons $\epsilon =m+1>0$. Pour $n$ impair assez grand, précisément dès que $\frac{1}{n}<\epsilon$, l'élément $-1+\frac{1}{n}$ est strictement inférieur à $-1+\epsilon =m$ : donc $m$ n'est pas un minorant. Le plus grand des minorants est donc $$\inf A=-1.$$

Ce n'est pas un minimum. Si $-1$ appartenait à $A$, on aurait $(-1{)}^n+\frac{1}{n}=-1$ pour un certain $n$, donc $\frac{1}{n}=-1-(-1{)}^n\in \{0,-2\}$, ce qui est impossible car $\frac{1}{n}>0$. Donc $A$ n'a pas de plus petit élément.

Conclusion. $\sup A=\max A=\frac{3}{2}$ ; $\inf A=-1$, non atteint, donc $A$ n'a pas de minimum.

Point délicat. La borne inférieure n'est pas $-1+\frac{1}{1}=0$, ni la plus petite valeur qu'on voit en écrivant les premiers termes : elle est la limite d'une infinité de valeurs qui s'en approchent sans jamais l'atteindre. Le maximum, lui, doit appartenir à l'ensemble — c'est toute la différence.