Une limite, avec des $\epsilon$

La traduction. $u_n\to 2$ signifie

$$\forall \epsilon >0,\exists n_0\in \mathbb{N},\forall n\ge n_0,\left|\frac{2n+1}{n+3}-2\right|\le \epsilon .$$

L'ordre des quantificateurs porte tout le sens : $n_0$ vient après $\epsilon$, donc il peut en dépendre — et il en dépendra.

Le calcul de l'écart.

$$\left|\frac{2n+1}{n+3}-2\right|=\left|\frac{2n+1-2n-6}{n+3}\right|=\frac{5}{n+3}.$$

La démonstration. Soit $\epsilon >0$. On cherche $n_0$ tel que $\frac{5}{n+3}\le \epsilon$ pour $n\ge n_0$, c'est-à-dire $n\ge \frac{5}{\epsilon }-3$. Posons donc

$$n_0=\max \left(0,\lceil \frac{5}{\epsilon }-3\rceil \right).$$

Pour tout $n\ge n_0$ on a bien $\frac{5}{n+3}\le \epsilon$, ce qui achève la démonstration.

Contrôle : pour $\epsilon =10^{-3}$, $n_0=4997$, et $\frac{5}{5000}=10^{-3}$ exactement.

Ce qu'il ne faut pas faire : écrire « quand $n$ est grand, $u_n$ est proche de $2$ ». La définition exige un $n_0$ explicite, ou du moins dont on prouve l'existence — c'est là toute la différence entre une intuition et une démonstration.