Une partie de \Q sans borne supérieure dans \Q
Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 4 — Suites de nombres réels · Valeur absolue, partie entière et bornes
Énoncé
Montrer que A = \{x \in \Q \mid x^2 < 2\} est non vide et majoré, mais n'a pas de borne supérieure dans \Q.
Corrigé
Non vide : car .
Majoré : si alors , donc . Ainsi majore .
Pas de borne supérieure dans \Q. Dans , la borne supérieure existe et vaut — car contient tous les rationnels de et aucun rationnel . Or \sqrt2 \notin \Q.
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