Une partie de $\mathbb{Q}$ sans borne supérieure dans $\mathbb{Q}$

Non vide : $1\in A$ car $1<2$.

Majoré : si $x\ge 2$ alors $x^2\ge 4>2$, donc $x\notin A$. Ainsi $2$ majore $A$.

Pas de borne supérieure dans $\mathbb{Q}$. Dans $\mathbb{R}$, la borne supérieure existe et vaut $\sqrt{2}$ — car $A$ contient tous les rationnels de $]0,\sqrt{2}[$ et aucun rationnel $>\sqrt{2}$. Or $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.

Supposons qu'un rationnel $s$ soit borne supérieure de $A$ dans $\mathbb{Q}$. Comme $s^2\ne 2$ ($\sqrt{2}$ est irrationnel), deux cas :

• si $s^2<2$, on peut trouver un rationnel $t$ avec $s<t$ et $t^2<2$ (prendre $t=s+\frac{2-s^2}{2(s+2)}$, qui convient) : $s$ ne majore pas $A$ ;
• si $s^2>2$, on trouve de même un rationnel $t<s$ avec $t^2>2$ : $t$ majore $A$ et $s$ n'est pas le plus petit des majorants.

Dans les deux cas, contradiction.

Ce que cela démontre. $\mathbb{Q}$ ne vérifie pas la propriété de la borne supérieure : c'est précisément le défaut que la construction de $\mathbb{R}$ vient combler. Toute la théorie de la convergence — limite monotone, suites adjacentes, valeurs intermédiaires — repose sur cet axiome, et aucune ne vaudrait dans $\mathbb{Q}$.