Une récurrence d'ordre deux

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 4 — Suites de nombres réels · Suites arithmético-géométriques et récurrences d'ordre 2

Énoncé

Soit $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 4$ , $u_{n + 2} = 4 u_{n + 1} - 3 u_{n}$ . Donner $u_{n}$ , et dire laquelle des deux racines domine.

Corrigé

Équation caractéristique : $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ , de racines distinctes $x = 1$ et $x = 3$ . Donc $u_{n} = α \cdot 1^{n} + β \cdot 3^{n}$ .

Conditions initiales :

${α + β = 1 α + 3 β = 4 ⟺ β = \frac{3}{2}, α = - \frac{1}{2},$

d'où

$u_{n} = \frac{3 ^{n + 1} - 1}{2} .$

Vérification : $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 4$ , $u_{2} = 13$ , et $4 \times 4 - 3 \times 1 = 13$ .

La racine $3$ domine. En écrivant $u_{n} = \frac{3 ^{n + 1}}{2} (1 - 3^{- (n + 1)})$ , le facteur entre parenthèses tend vers $1$ , donc $u_{n} \sim \frac{3 ^{n + 1}}{2}$ .

Le rôle de la racine $1$ : elle contribue une constante, $- \frac{1}{2}$ , qui ne disparaît jamais mais devient vite négligeable. Dès $n = 5$ , elle pèse moins de $0, 05 %$ du total.

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