Une somme dont le nombre de termes grandit

Le piège à écarter d'abord. Chaque terme $\frac{n}{n^2+k}$ tend vers $0$, mais on ne peut pas en conclure que la somme tend vers $0$ : le nombre de termes augmente avec $n$, alors que le théorème sur la somme de suites convergentes porte sur un nombre fixe de termes. Il faut encadrer.

L'encadrement du terme général. Pour $1\le k\le n$ : $$n^2+1\le n^2+k\le n^2+n.$$ Ces trois quantités sont strictement positives, et passer à l'inverse renverse les inégalités : $$\frac{1}{n^2+n}\le \frac{1}{n^2+k}\le \frac{1}{n^2+1},\text{donc}\frac{n}{n^2+n}\le \frac{n}{n^2+k}\le \frac{n}{n^2+1}.$$

La sommation. On additionne ces $n$ encadrements, membre à membre — les bornes ne dépendent pas de $k$, chacune est donc répétée $n$ fois : $$\frac{n^2}{n^2+n}\le u_n\le \frac{n^2}{n^2+1}.$$

La conclusion. À gauche, $\frac{n^2}{n^2+n}=\frac{n}{n+1}\to 1$. À droite, $\frac{n^2}{n^2+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}\to 1$. Les deux suites encadrantes tendent vers $1$, donc $u_n\to 1$ par encadrement.

Contrôle. Pour $n=3$ : $\frac{3}{10}+\frac{3}{11}+\frac{3}{12}\simeq 0,82$, bien compris entre $\frac{9}{12}=0,75$ et $\frac{9}{10}=0,9$.

Le point à retenir. Une somme dont le nombre de termes dépend de $n$ ne se traite jamais terme à terme. La méthode est invariable : encadrer le terme général par deux quantités indépendantes de $k$, sommer les $n$ inégalités, conclure par encadrement. Ici chaque terme tend vers $0$ et la somme vers $1$ — la preuve que le raccourci était faux.