Une suite arithmético-géométrique

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 4 — Suites de nombres réels · Suites arithmético-géométriques et récurrences d'ordre 2

Énoncé

Soit $u_{0} = 4$ et $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 3$ . Déterminer $u_{n}$ et sa limite.

Corrigé

Le point fixe vérifie $ℓ = 0, 5 ℓ + 3$ , soit $0, 5 ℓ = 3$ et $ℓ = 6$ .

La suite auxiliaire. Posons $v_{n} = u_{n} - 6$ . Alors

$v_{n + 1} = u_{n + 1} - 6 = 0, 5 u_{n} + 3 - 6 = 0, 5 (u_{n} - 6) = 0, 5 v_{n},$

donc $(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 5$ et de premier terme $v_{0} = 4 - 6 = - 2$ . D'où

$u_{n} = 6 - 2 (\frac{1}{2})^{n} .$

Vérification : $u_{0} = 4$ , $u_{1} = 5$ , $u_{2} = 5, 5$ , conformes à la récurrence.

La limite : $(\frac{1}{2})^{n} \to 0$ , donc $u_{n} \to 6$ . L'équilibre est attractif puisque $∣0, 5∣ < 1$ : l'écart $∣ u_{n} - 6∣$ est divisé par deux à chaque étape, et la suite croît vers $6$ en venant d'en dessous.

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