Une suite qu'un changement d'inconnue rend arithmétique

Ce qu'on montre. Que la suite est bien définie et strictement positive, puis une expression explicite obtenue en changeant d'inconnue.

Positivité, par récurrence. Notons $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n$ est défini et $u_n>0$ ».

• Initialisation : $u_0=1>0$.
• Hérédité : si $u_n>0$, alors $1+u_n>1>0$, donc le quotient $u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}$ est bien défini, et c'est un quotient de deux réels strictement positifs, donc $u_{n+1}>0$.

Ainsi $u_n>0$ pour tout $n$, et $v_n=\frac{1}{u_n}$ a un sens.

La suite $(v_n)$ est arithmétique. Pour tout $n$, $$v_{n+1}=\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{1+u_n}{u_n}=\frac{1}{u_n}+1=v_n+1.$$ C'est une suite arithmétique de raison $1$, de premier terme $v_0=\frac{1}{u_0}=1$.

Expression explicite. Donc $v_n=v_0+n\times 1=n+1$, puis $$u_n=\frac{1}{v_n}=\frac{1}{n+1}.$$

Contrôle. $u_1=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$, et la formule donne $\frac{1}{2}$. $u_2=\frac{1/2}{1+1/2}=\frac{1}{3}$, et la formule donne $\frac{1}{3}$.

La limite. $\frac{1}{n+1}\to 0$ quand $n\to +\infty$ : la suite converge vers $0$.

Point délicat. Le passage à $v_n=1/u_n$ n'est licite que parce qu'on a d'abord établi $u_n\ne 0$ — et c'est la récurrence de positivité qui le garantit. Poser le changement d'inconnue avant cette vérification serait manipuler une expression qui pourrait ne pas exister.