Cinq dérivées

Ce qu'on montre. Cinq dérivées, chacune relevant d'une règle : produit, composée, quotient, composée, produit.

Un produit. Sur $\mathbb{R}$, avec $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ : $$(x^2{\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }=2x{\mathrm{e}}^x+x^2{\mathrm{e}}^x=(x^2+2x){\mathrm{e}}^x.$$

Une composée avec le logarithme. Sur $\mathbb{R}$, puisque $1+x^2>0$ pour tout réel. Avec $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ : $$\left(\ln \right(1+x^2){)}^{\prime }=\frac{2x}{1+x^2}.$$

Un quotient. Sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, avec ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ : $${\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}^{\prime }=\frac{1\cdot (x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}.$$ Cette dérivée est strictement négative partout où elle est définie : la fonction est décroissante sur chacun des deux intervalles, pas sur leur réunion.

Une composée avec la racine. Sur $\mathbb{R}$, car $x^2+1>0$. Avec $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ : $$(\sqrt{x^2+1}{)}^{\prime }=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.$$

Un produit avec le logarithme. Sur $\left]0,+\infty \right[$ : $$(x\ln x{)}^{\prime }=1\times \ln x+x\times \frac{1}{x}=\ln x+1.$$

Point délicat. Le domaine de dérivabilité n'est pas toujours celui de la fonction : la racine $\sqrt{u}$ n'est dérivable que là où $u>0$ — ici c'est vrai partout, mais $x\mapsto \sqrt{x}$ elle-même n'est pas dérivable en $0$ bien qu'elle y soit définie.

Contrôle. La dérivée de $x\ln x$ s'annule pour $\ln x=-1$, soit $x=\frac{1}{\mathrm{e}}$ : c'est bien l'abscisse du minimum connu de cette fonction.