Dérivable sans dérivée continue

Dérivabilité en $0$. Le taux d'accroissement vaut

$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=x\sin \frac{1}{x},$$

et $\left|x\sin \frac{1}{x}\right|\le |x|\to 0$. Par encadrement, la limite existe et vaut $0$ : $f$ est dérivable en $0$, avec $f^{\prime }(0)=0$.

Le théorème du prolongement ne s'applique pas. Pour $x\ne 0$,

$$f^{\prime }(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}.$$

Le premier terme tend vers $0$, mais $\cos \frac{1}{x}$ n'a pas de limite en $0$ : il oscille entre $-1$ et $1$ indéfiniment. Donc $f^{\prime }(x)$ n'a pas de limite en $0$, et l'hypothèse du théorème est en défaut.

Et pourtant $f$ est dérivable en $0$. Il n'y a là aucune contradiction : le théorème donne une condition suffisante, non nécessaire. Quand $f^{\prime }$ a une limite au bord, on conclut ; quand elle n'en a pas, on ne conclut rien — il faut revenir au taux d'accroissement, ce que nous avons fait.

Ce que l'exemple montre en plus : $f$ est dérivable partout, mais $f^{\prime }$ n'est pas continue en $0$. Une fonction dérivable n'est donc pas forcément de classe ${\mathcal{C}}^1$ — le programme signale d'ailleurs qu'on n'étudiera pas d'autre exemple de ce genre.