Deux changements de variable

Ce qu'on montre. Deux intégrales, chacune par le changement de variable indiqué. On vérifie à chaque fois que la substitution est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et strictement monotone sur l'intervalle d'intégration.

Première intégrale. Posons $x=t^2$, c'est-à-dire $t=\sqrt{x}$. L'application $t\mapsto t^2$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et strictement croissante sur $[1,2]$. On a $\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t$, et les bornes se transforment : $x=1\Rightarrow t=1$, $x=4\Rightarrow t=2$. Alors $$I={\int }_1^2\frac{2t\mathrm{d}t}{t(1+t)}={\int }_1^2\frac{2\mathrm{d}t}{1+t}.$$ La simplification par $t$ est licite car $t\ge 1>0$ sur tout l'intervalle. Une primitive de $t\mapsto \frac{2}{1+t}$ sur $[1,2]$ est $t\mapsto 2\ln (1+t)$, donc $$I=[2\ln (1+t){]}_1^2=2\ln 3-2\ln 2=2\ln \frac{3}{2}\approx 0,811.$$

Seconde intégrale. Posons $u=x^2$. L'application $x\mapsto x^2$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et strictement croissante sur $[0,1]$. On a $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$, donc $x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}u$, et les bornes deviennent $u=0$ puis $u=1$ : $$J={\int }_0^1{\mathrm{e}}^u\frac{\mathrm{d}u}{2}=\frac{1}{2}[{\mathrm{e}}^u{]}_0^1=\frac{\mathrm{e}-1}{2}\approx 0,859.$$

Point délicat. Les bornes doivent être transformées en même temps que la variable : garder $0$ et $1$ dans la première intégrale, ou $1$ et $4$ après substitution, donnerait un résultat faux. Le réflexe est d'écrire explicitement le tableau de correspondance des bornes avant tout calcul.