Deux formes indéterminées, deux factorisations

Ce qu'on montre. Deux limites de la forme $\frac{0}{0}$. Dans les deux cas, on fait disparaître l'indétermination en factorisant, jamais en « remplaçant ».

Première limite. L'identité, valable pour tout réel $x$, $$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1)$$ se vérifie en développant : le produit vaut ${\sum }_{k=1}^n{x}^k-{\sum }_{k=0}^{n-1}{x}^k$, somme télescopique égale à $x^n-1$.

Pour $x\ne 1$, on peut donc simplifier : $$\frac{x^n-1}{x-1}=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1.$$ Le membre de droite est une fonction polynomiale, donc continue en $1$ ; sa valeur en $1$ est la somme de $n$ termes tous égaux à $1$. Par conséquent $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^n-1}{x-1}=n.$$

Seconde limite. Ici on multiplie par la quantité conjuguée $\sqrt{1+x}+1$, non nulle au voisinage de $0$ : $$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1},$$ la simplification par $x$ étant licite car $x\ne 0$ dans le calcul de la limite. Le dénominateur tend vers $2\ne 0$ quand $x\to 0$, donc $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}.$$

Point délicat. Dans les deux cas, on ne simplifie jamais par la quantité qui s'annule à la limite sans avoir noté qu'elle est non nulle avant le passage à la limite. C'est parce que $x\ne 1$ (resp. $x\ne 0$) dans le calcul que la simplification a un sens.