Deux intégrations par parties

La première, en dérivant $x$ :

$${\int }_0^{1}x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=[x{\mathrm{e}}^x{]}_0^1-{\int }_0^1{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=\mathrm{e}-(\mathrm{e}-1)=1.$$

La seconde, en écrivant $\ln t=1\times \ln t$ et en primitivant le facteur $1$ :

$${\int }_1^{\mathrm{e}}\ln t\mathrm{d}t=[t\ln t{]}_1^{\mathrm{e}}-{\int }_1^{\mathrm{e}}t\times \frac{1}{t}\mathrm{d}t=\mathrm{e}-(\mathrm{e}-1)=1.$$

Les deux valent $1$ — et ce n'est pas une coïncidence : le changement de variable $t={\mathrm{e}}^x$ transforme la seconde intégrale en la première.

Le choix de ce qu'on dérive fait tout. Dans la première, dériver $x$ le fait disparaître ; dériver ${\mathrm{e}}^x$ tournerait en rond. Dans la seconde, l'astuce est de voir un produit là où il n'y en a pas : c'est la façon standard de primitiver $\ln$, et elle donne $\int \ln t\mathrm{d}t=t\ln t-t+C$.