Deux limites finies aux bords suffisent à borner

Ce qu'on montre. L'existence d'un réel $M$ tel que $|f(x)|\le M$ pour tout $x$. La méthode : découper $\mathbb{R}$ en trois morceaux, chacun contrôlé par un théorème différent.

Le morceau de droite. Appliquons la définition de la limite en $+\infty$ avec $\epsilon =1$ : il existe $A\in \mathbb{R}$ tel que $$\forall x\ge A,|f(x)-L_{+}|\le 1.$$ Par l'inégalité triangulaire, pour un tel $x$ : $$|f(x)|\le |f(x)-L_{+}|+|L_{+}|\le 1+|L_{+}|.$$ Posons $M_{+}=1+|L_{+}|$ : $f$ est bornée par $M_{+}$ sur $\left[A,+\infty \right[$.

Le morceau de gauche. De même, il existe $B\in \mathbb{R}$ tel que $|f(x)|\le M_{-}=1+|L_{-}|$ pour tout $x\le B$. Quitte à diminuer $B$ ou augmenter $A$, on peut supposer $B\le A$.

Le morceau du milieu. Sur le segment $[B,A]$, $f$ est continue. D'après le théorème de l'image d'un segment, $f([B,A])$ est un segment $[m,M_0]$ : $f$ y est bornée, et il existe $M_0^{\prime }=\max (|m|,|M_0|)$ tel que $|f(x)|\le M_0^{\prime }$ pour tout $x\in [B,A]$.

Recollement. Posons $M=\max (M_{-},M_0^{\prime },M_{+})$. Tout réel $x$ appartient à l'un des trois morceaux $\left]-\infty ,B\right]$, $[B,A]$, $\left[A,+\infty \right[$, dont la réunion est $\mathbb{R}$. Dans chacun des cas, $|f(x)|\le M$. Donc $f$ est bornée sur $\mathbb{R}$.

Point délicat. Aucun des trois arguments ne suffit seul. Le théorème de l'image d'un segment ne dit rien en dehors d'un segment ; la définition de la limite ne dit rien sur une partie bornée. C'est le découpage qui fait la démonstration, et le fait que les trois morceaux recouvrent $\mathbb{R}$.