Deux limites trigonométriques

La première vaut $1$. C'est le taux d'accroissement de $\sin$ en $0$ :

$$\frac{\sin x}{x}=\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}\underset{x\to 0}{\to }{\sin }^{\prime }(0)=\cos 0=1.$$

La seconde vaut $\frac{1}{2}$. On multiplie par la quantité conjuguée, en utilisant $1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$ :

$$\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}=\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}\cdot \frac{1}{1+\cos x}\underset{x\to 0}{\to }{1}^2\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$

Ce que ces deux limites annoncent : les développements $\sin x=x+o(x^2)$ et $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)$, qu'on retrouvera au chapitre sur Taylor. Elles sont les deux briques élémentaires de toute la trigonométrie analytique — et il faut savoir les retrouver, non les réciter.