Deux points distants d'un demi

Posons $g(x)=f\left(x+\frac{1}{2}\right)-f(x)$ pour $x\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$. Cette fonction est bien définie — car $x+\frac{1}{2}$ reste dans $[0,1]$ — et continue comme différence de fonctions continues.

Aux bornes :

$$g(0)=f\left(\frac{1}{2}\right)-f(0),g\left(\frac{1}{2}\right)=f(1)-f\left(\frac{1}{2}\right)=f(0)-f\left(\frac{1}{2}\right)=-g(0),$$

la dernière égalité utilisant l'hypothèse $f(1)=f(0)$.

Conclusion. Si $g(0)=0$, alors $c=0$ convient. Sinon $g(0)$ et $g\left(\frac{1}{2}\right)$ sont de signes opposés, et le théorème des valeurs intermédiaires fournit $c\in \left]0,\frac{1}{2}\right[$ avec $g(c)=0$, c'est-à-dire $f(c)=f\left(c+\frac{1}{2}\right)$.

L'idée à retenir : on ne cherche pas $c$, on fabrique une fonction dont il est un zéro. L'hypothèse $f(0)=f(1)$ ne sert qu'à une chose, mais elle est décisive : rendre $g$ antisymétrique aux bornes, donc forcer le changement de signe.

Une remarque. Le résultat vaut pour $\frac{1}{2}$, et plus généralement pour $\frac{1}{n}$ ; il est faux pour un pas quelconque, par exemple $\frac{1}{3}$ remplacé par $0,4$ — un contre-exemple explicite existe. La démonstration ci-dessus utilise bien que $2\times \frac{1}{2}=1$.