Deux prolongements par continuité

Ce qu'on montre. Deux valeurs à attribuer au point manquant pour que la fonction devienne continue. Dans les deux cas, la fonction n'est pas définie au point ; on calcule la limite, et on pose la valeur égale à cette limite.

Première fonction. Pour $x\ne 1$, on factorise le numérateur : $$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1,$$ la simplification étant licite puisque $x\ne 1$. La fonction $x\mapsto x+1$ étant continue en $1$, $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2.$$ Le prolongement par continuité est donc la fonction $g$ définie par $g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x\ne 1$ et $g(1)=2$ — autrement dit, tout simplement, $g(x)=x+1$ sur $\mathbb{R}$.

Seconde fonction. Pour $x\ge 0$ et $x\ne 4$, on multiplie par la quantité conjuguée $\sqrt{x}+2$, qui est non nulle : $$\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x}+2}.$$ Cette dernière expression est continue en $4$, où elle vaut $\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$. Donc $$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{1}{4},$$ et l'on prolonge en posant la valeur $\frac{1}{4}$ au point $4$.

Point délicat. Un prolongement par continuité n'est possible que si la limite existe et est finie. Ce n'est pas automatique : la fonction $x\mapsto \frac{1}{x-1}$ n'admet aucun prolongement continu en $1$, ses limites à gauche et à droite étant $-\infty$ et $+\infty$.