Encadrer $\ln (n+1)-\ln n$

La fonction $\ln$ est continue sur $[n,n+1]$ et dérivable sur $]n,n+1[$ (pour $n\ge 1$). L'égalité des accroissements finis fournit un $c\in ]n,n+1[$ tel que

$$\ln (n+1)-\ln n={\ln }^{\prime }(c)\times ((n+1)-n)=\frac{1}{c}.$$

L'encadrement. Comme $n<c<n+1$ et que $x\mapsto \frac{1}{x}$ est décroissante sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ :

$$\frac{1}{n+1}<\frac{1}{c}<\frac{1}{n},\text{donc}\frac{1}{n+1}\le \ln (n+1)-\ln n\le \frac{1}{n}.$$

Ce qu'on en tire. En sommant de $1$ à $N$, le membre du milieu télescope en $\ln (N+1)$, d'où

$$\sum _{n=1}^N\frac{1}{n+1}\le \ln (N+1)\le \sum _{n=1}^N\frac{1}{n}.$$

C'est la démonstration la plus économique de la divergence de la série harmonique — et elle donne en prime l'équivalent ${\sum }_{n=1}^N\frac{1}{n}\sim \ln N$.

Le point de méthode : l'égalité des accroissements finis donne un $c$ inconnu, et c'est justement pour cela qu'elle est utile. On ne cherche jamais à le calculer ; on l'encadre.