Encadrer une intégrale sans la calculer

Ce qu'on montre. Un encadrement, puis une limite obtenue sans jamais calculer $I_n$.

Encadrement de l'intégrande. Pour $x\in [0,1]$, on a $0\le x^2\le 1$, donc $$1\le 1+x^2\le 2.$$ Tous ces nombres étant strictement positifs, le passage à l'inverse renverse les inégalités : $$\frac{1}{2}\le \frac{1}{1+x^2}\le 1.$$ En multipliant par $x^n\ge 0$, ce qui conserve le sens : $$\frac{x^n}{2}\le \frac{x^n}{1+x^2}\le x^n\text{pour tout }x\in [0,1].$$

Intégration de l'encadrement. L'intégrale conserve les inégalités entre fonctions continues sur $[0,1]$, les bornes étant dans le bon ordre : $${\int }_0^1\frac{x^n}{2}\mathrm{d}x\le I_n\le {\int }_0^1{x}^n\mathrm{d}x.$$ Or ${\int }_0^1{x}^n\mathrm{d}x={\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]}_0^1=\frac{1}{n+1}$. D'où $$\frac{1}{2(n+1)}\le I_n\le \frac{1}{n+1}.$$

La limite. Les deux bornes tendent vers $0$ quand $n\to +\infty$. Par le théorème d'encadrement, $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0.$$

Point délicat. Le renversement des inégalités au passage à l'inverse n'est valable que pour des quantités de même signe, ici strictement positives. C'est vérifié, mais cela ne va jamais de soi et doit être écrit.

Contrôle. Pour $n=0$ : $I_0={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\frac{\pi }{4}\approx 0,785$, et l'encadrement annonce $0,5\le I_0\le 1$. C'est cohérent.