Intégrale nulle d'une fonction continue positive

Ce qu'on montre. Que l'intégrale, qui ne « voit » a priori qu'une moyenne, contraint ici la fonction en chaque point. La démonstration est par l'absurde, et c'est la continuité qui fait tout le travail.

Mise en place. Supposons $f$ non identiquement nulle : il existe $x_0\in [a,b]$ tel que $f(x_0)>0$ (la positivité exclut $f(x_0)<0$).

La continuité fabrique un intervalle. Appliquons la définition de la continuité en $x_0$ avec $\epsilon =\frac{f(x_0)}{2}>0$ : il existe $\alpha >0$ tel que $$\forall x\in [a,b],|x-x_0|\le \alpha ⟹|f(x)-f(x_0)|\le \frac{f(x_0)}{2},$$ et en particulier $$f(x)\ge f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2}=\frac{f(x_0)}{2}>0.$$ Notons $J=[a,b]\cap [x_0-\alpha ,x_0+\alpha ]$. C'est un segment $[{\alpha }_1,{\beta }_1]$ contenant $x_0$, de longueur $\eta ={\beta }_1-{\alpha }_1>0$ : même si $x_0$ est l'une des extrémités $a$ ou $b$, l'intersection contient un segment non réduit à un point, puisque $a<b$.

Minoration de l'intégrale. Par la relation de Chasles et la positivité de $f$ en dehors de $J$ : $${\int }_a^{b}f={\int }_a^{{\alpha }_1}f+{\int }_{{\alpha }_1}^{{\beta }_1}f+{\int }_{{\beta }_1}^{b}f\ge {\int }_{{\alpha }_1}^{{\beta }_1}f.$$ Sur $J$, on a $f\ge \frac{f(x_0)}{2}$, et la croissance de l'intégrale donne $${\int }_{{\alpha }_1}^{{\beta }_1}f\ge \frac{f(x_0)}{2}({\beta }_1-{\alpha }_1)=\frac{f(x_0)\eta }{2}>0.$$

La contradiction. On obtient ${\int }_a^{b}f>0$, alors que l'hypothèse affirme ${\int }_a^{b}f=0$. L'hypothèse « il existe $x_0$ avec $f(x_0)>0$ » est donc fausse : $f$ est identiquement nulle sur $[a,b]$.

Point délicat. La continuité est indispensable. Une fonction positive nulle partout sauf en un point, qui n'est pas continue, a une intégrale nulle sans être nulle. C'est la continuité qui transforme « $f$ est strictement positive en un point » en « $f$ est minorée sur tout un intervalle de longueur non nulle » — et c'est cette longueur qui rend l'intégrale strictement positive.