L'image de $\mathbb{R}$ par une fonction bornée

Ce qu'on montre. L'ensemble des valeurs atteintes, lu sur le tableau de variations.

Dérivée et signe. $f$ est un quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur $1+x^2$ ne s'annule jamais : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (1+x^2)-x\cdot 2x}{(1+x^2{)}^2}=\frac{1-x^2}{(1+x^2{)}^2}.$$ Le dénominateur est strictement positif, donc $f^{\prime }(x)$ est du signe de $1-x^2=(1-x)(1+x)$ :

• $f^{\prime }<0$ sur $\left]-\infty ,-1\right[$ et sur $\left]1,+\infty \right[$ ;
• $f^{\prime }>0$ sur $\left]-1,1\right[$ ;
• $f^{\prime }$ s'annule en $-1$ et en $1$.

Valeurs et limites. $f(-1)=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$ et $f(1)=\frac{1}{2}$. Aux bornes, en factorisant $x^2$ au dénominateur : $$f(x)=\frac{x}{x^2\left(\frac{1}{x^2}+1\right)}=\frac{1}{x\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}\underset{x\to \pm \infty }{\to }0.$$

Image de chaque morceau. Sur chacun des trois intervalles, $f$ est continue et strictement monotone : le théorème de la bijection donne l'image sous forme d'intervalle.

• Sur $\left]-\infty ,-1\right]$, $f$ décroît de $0$ (exclu, limite) à $-\frac{1}{2}$ (atteint) : l'image est $\left[-\frac{1}{2},0\right[$.
• Sur $[-1,1]$, $f$ croît de $-\frac{1}{2}$ à $\frac{1}{2}$ : l'image est $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$.
• Sur $\left[1,+\infty \right[$, $f$ décroît de $\frac{1}{2}$ à $0$ (exclu) : l'image est $\left]0,\frac{1}{2}\right]$.

Conclusion. La réunion de ces trois images est $$f(\mathbb{R})=\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right].$$ En particulier $f$ est bornée, et elle atteint ses bornes, en $x=-1$ et $x=1$.

Une bijection. Sur $[-1,1]$, $f$ est continue et strictement croissante : elle réalise une bijection de $[-1,1]$ sur $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$. Sur $\mathbb{R}$ entier, $f$ n'est pas injective : par exemple $f(2)=\frac{2}{5}=f\left(\frac{1}{2}\right)$.