La dérivée de l'arctangente

Posons $y=\arctan x$, de sorte que $\tan y=x$ avec $y\in \left]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right[$.

La formule de dérivation d'une réciproque donne

$${\arctan }^{\prime }(x)=\frac{1}{{\tan }^{\prime }(\arctan x)}=\frac{1}{1+{\tan }^2(\arctan x)}=\frac{1}{1+x^2},$$

en utilisant ${\tan }^{\prime }=1+{\tan }^2$ et $\tan (\arctan x)=x$.

Les hypothèses sont bien remplies : $\tan$ est dérivable sur $\left]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right[$ et sa dérivée $1+{\tan }^2$ ne s'y annule jamais — c'est cette non-annulation qui rend la réciproque dérivable partout.

Deux conséquences. ${\arctan }^{\prime }>0$ : la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Et ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan 1=\frac{\pi }{4}$, égalité dont on se sert pour identifier la limite d'une somme de Riemann.