Le sinus ne fait jamais grandir les écarts

Ce qu'on montre. Une majoration d'écart, par l'inégalité des accroissements finis.

Les hypothèses de l'inégalité. La fonction $\sin$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée $\cos$. Or, pour tout réel $t$, la relation ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$ donne ${\cos }^{2}t\le 1$, donc $$|{\sin }^{\prime }(t)|=|\cos t|\le 1.$$ La dérivée est donc bornée par $k=1$ sur $\mathbb{R}$.

Application. L'inégalité des accroissements finis affirme que si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ avec $|f^{\prime }|\le k$, alors $$|f(a)-f(b)|\le k|a-b|\text{pour tous }a,b\in I.$$ Avec $f=\sin$, $I=\mathbb{R}$ et $k=1$ : $$|\sin a-\sin b|\le |a-b|\text{pour tous reˊels }a,b.$$

La seconde inégalité. Prenons $b=0$ dans ce qui précède. Comme $\sin 0=0$ : $$|\sin x|=|\sin x-\sin 0|\le |x-0|=|x|.$$

Point délicat. L'inégalité des accroissements finis exige que la majoration $|f^{\prime }|\le k$ vaille sur tout l'intervalle contenant $a$ et $b$, et non seulement en quelques points. Ici $|\cos |\le 1$ partout, d'où la validité sur $\mathbb{R}$ entier.

Contrôle. $a=1$, $b=0$ : $|\sin 1|\approx 0,841\le 1$. $a=\pi$, $b=0$ : $|0-0|=0\le \pi$.