Quand la dérivée a une limite en l'infini

Ce qu'on montre. Deux conséquences du comportement de $f^{\prime }$, obtenues par l'égalité des accroissements finis — celle qui produit un point intermédiaire.

Première limite. Soit $x>0$. Sur $[x,x+1]$, $f$ est continue et dérivable sur l'intervalle ouvert : l'égalité des accroissements finis fournit un réel $c_x\in \left]x,x+1\right[$ tel que $$f(x+1)-f(x)=f^{\prime }(c_x)((x+1)-x)=f^{\prime }(c_x).$$

Soit $\epsilon >0$. Par hypothèse, il existe $A>0$ tel que $|f^{\prime }(t)-\ell |\le \epsilon$ pour tout $t\ge A$. Pour $x\ge A$, on a $c_x>x\ge A$, donc $$|f(x+1)-f(x)-\ell |=|f^{\prime }(c_x)-\ell |\le \epsilon .$$ Ceci valant pour tout $\epsilon >0$, on conclut $f(x+1)-f(x)\to \ell$.

Seconde limite. Soit $\epsilon >0$. Choisissons $A>0$ tel que $$\forall t\ge A,|f^{\prime }(t)-\ell |\le \frac{\epsilon }{2}.$$ Pour $x>A$, l'égalité des accroissements finis sur $[A,x]$ donne un $c\in \left]A,x\right[$ tel que $$f(x)=f(A)+f^{\prime }(c)(x-A).$$ En divisant par $x>0$ et en retranchant $\ell$ : $$\frac{f(x)}{x}-\ell =\frac{f(A)}{x}+f^{\prime }(c)\left(1-\frac{A}{x}\right)-\ell =\frac{f(A)-\ell A}{x}+(f^{\prime }(c)-\ell )\left(1-\frac{A}{x}\right).$$ Majorons les deux morceaux. Comme $c>A$, on a $|f^{\prime }(c)-\ell |\le \frac{\epsilon }{2}$, et $0<1-\frac{A}{x}\le 1$, donc le second terme est majoré en valeur absolue par $\frac{\epsilon }{2}$. Le premier, dont le numérateur $f(A)-\ell A$ est une constante une fois $\epsilon$ (donc $A$) fixé, tend vers $0$ : il existe $A^{\prime }\ge A$ tel qu'il soit $\le \frac{\epsilon }{2}$ pour $x\ge A^{\prime }$.

Ainsi, pour $x\ge A^{\prime }$ : $$\left|\frac{f(x)}{x}-\ell \right|\le \frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon ,$$ ce qui établit $\frac{f(x)}{x}\to \ell$.

Point délicat. Le réel $A$ est choisi avant de faire tendre $x$ vers $+\infty$, et il ne bouge plus : c'est ce qui permet de traiter $\frac{f(A)-\ell A}{x}$ comme « constante sur $x$ ». Inverser l'ordre des choix ruinerait la démonstration.