Rolle et les racines d'un polynôme

On range les racines. Notons-les $a_1<a_2<\cdots <a_n$.

On applique Rolle sur chaque intervalle consécutif. Fixons $i\in \{1,\dots ,n-1\}$. Sur le segment $[a_i,a_{i+1}]$, la fonction $P$ est continue et dérivable (une fonction polynomiale l'est partout), et

$$P(a_i)=P(a_{i+1})=0.$$

Le théorème de Rolle fournit donc un réel $c_i$ strictement compris entre $a_i$ et $a_{i+1}$ tel que $P^{\prime }(c_i)=0$.

Ces $n-1$ racines sont distinctes. C'est ici que sert la stricte monotonie du rangement : $c_i$ appartient à $\left]a_i,a_{i+1}\right[$, et ces $n-1$ intervalles ouverts sont deux à deux disjoints. Deux $c_i$ d'indices différents ne peuvent donc pas coïncider.

Conclusion. $P^{\prime }$ admet au moins $n-1$ racines réelles distinctes. Comme $P^{\prime }$ est de degré $n-1$, elle n'en admet pas davantage : on les a toutes, et chacune est simple.

Le point à retenir. Rolle transforme un renseignement sur les valeurs d'une fonction en un renseignement sur sa dérivée. Compter les racines de $P^{\prime }$ en séparant celles de $P$ est le schéma standard ; le degré sert ensuite de majorant pour dire qu'on n'en a pas oublié.