Rolle et les racines d'un polynôme

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 5 — Fonctions réelles d'une variable réelle · Dérivation et accroissements finis

Énoncé

Soit $P$ une fonction polynomiale de degré $n \geq 2$ possédant $n$ racines réelles deux à deux distinctes. Montrer que $P^{'}$ possède $n - 1$ racines réelles deux à deux distinctes.

Corrigé

On range les racines. Notons-les $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ .

On applique Rolle sur chaque intervalle consécutif. Fixons $i \in {1, \dots, n - 1}$ . Sur le segment $[a_{i}, a_{i + 1}]$ , la fonction $P$ est continue et dérivable (une fonction polynomiale l'est partout), et

$P (a_{i}) = P (a_{i + 1}) = 0.$

Le théorème de Rolle fournit donc un réel $c_{i}$ strictement compris entre $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ tel que $P^{'} (c_{i}) = 0$ .

Ces $n - 1$ racines sont distinctes. C'est ici que sert la stricte monotonie du rangement : $c_{i}$ appartient à $] a_{i}, a_{i + 1} [$ , et ces $n - 1$ intervalles ouverts sont deux à deux disjoints. Deux $c_{i}$ d'indices différents ne peuvent donc pas coïncider.

Conclusion. $P^{'}$ admet au moins $n - 1$ racines réelles distinctes. Comme $P^{'}$ est de degré $n - 1$ , elle n'en admet pas davantage : on les a toutes, et chacune est simple.

Le point à retenir. Rolle transforme un renseignement sur les valeurs d'une fonction en un renseignement sur sa dérivée. Compter les racines de $P^{'}$ en séparant celles de $P$ est le schéma standard ; le degré sert ensuite de majorant pour dire qu'on n'en a pas oublié.

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