Sommes de Riemann, et l'erreur en $1/n$

from math import pi

def riemann(f, a, b, n, cote="gauche"):
    h = (b - a) / n
    if cote == "gauche":
        points = (a + i * h for i in range(n))
    else:                                   # rectangles a droite
        points = (a + i * h for i in range(1, n + 1))
    return h * sum(f(x) for x in points)

f = lambda x: 1 / (1 + x * x)
exact = pi / 4
for n in (10, 100, 1000, 10000):
    e = abs(riemann(f, 0, 1, n) - exact)
    print(n, e, e * n)                      # e*n doit se stabiliser

Ce qu'on observe : le produit $n\times \text{erreur}$ se stabilise autour de $0,25$. L'erreur est donc de la forme $\frac{C}{n}$ avec $C\approx 0,25$ : diviser l'erreur par dix demande dix fois plus de points.

Pourquoi $\frac{1}{n}$, et pourquoi $0,25$. Sur chaque sous-intervalle, le rectangle à gauche commet une erreur d'ordre $\frac{h^2}{2}|f^{\prime }|$ ; en sommant les $n$ morceaux, on obtient $\frac{h}{2}{\int }_a^b|f^{\prime }|$, donc un terme en $\frac{1}{n}$. Ici $C=\frac{f(1)-f(0)}{2}\times 1=\frac{0,5-1}{2}=-0,25$ en valeur signée — d'où $0,25$ en valeur absolue.

La comparaison qui compte. La méthode des trapèzes, à peine plus coûteuse, donne une erreur en $\frac{1}{n^2}$ ; sur cette intégrale, elle atteint à $n=100$ la précision que les rectangles n'ont qu'à $n=10^6$. Le choix de la méthode pèse bien plus lourd que le nombre de points.