Tout trajet continu a un point fixe

On introduit la différence. Posons, pour $x\in [0,1]$,

$$g(x)=f(x)-x.$$

La fonction $g$ est continue sur $[0,1]$ comme différence de deux fonctions continues, et l'égalité cherchée $f(c)=c$ équivaut à $g(c)=0$ : on cherche donc un zéro de $g$.

Le signe aux deux bornes. L'hypothèse dit que $f$ est à valeurs dans $[0,1]$. Donc

$$g(0)=f(0)-0=f(0)\ge 0,g(1)=f(1)-1\le 0.$$

Le théorème des valeurs intermédiaires. $g$ est continue sur $[0,1]$ et $0$ est compris entre $g(1)$ et $g(0)$. Il existe donc $c\in [0,1]$ tel que $g(c)=0$, c'est-à-dire $f(c)=c$.

Les cas limites sont couverts. Si $g(0)=0$, alors $c=0$ convient ; si $g(1)=0$, c'est $c=1$. Le théorème n'exige pas des signes stricts, seulement que $0$ soit entre les deux valeurs.

Le point à retenir. Une équation $f(c)=h(c)$ ne se traite jamais directement : on l'écrit $g(c)=0$ avec $g=f-h$, et l'existence d'une solution devient une question de signes aux bornes. C'est le seul usage du théorème des valeurs intermédiaires — il donne l'existence, jamais la valeur.