Trois intégrales par primitive

Ce qu'on montre. Trois calculs, chacun consistant à reconnaître une primitive puis à évaluer entre les bornes.

Le principe. Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle contenant $[a,b]$, alors $${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=F(b)-F(a)=[F(t){]}_a^b.$$

Première intégrale. Une primitive de $3x^2-2x+1$ est $x^3-x^2+x$ (on dérive pour vérifier : $3x^2-2x+1$, c'est bien elle). $${\int }_0^1(3x^2-2x+1)\mathrm{d}x=[x^3-x^2+x{]}_0^1=(1-1+1)-0=1.$$

Deuxième intégrale. Sur $[1,\mathrm{e}]$, qui est inclus dans $\left]0,+\infty \right[$, une primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln x$. $${\int }_1^{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{d}x}{x}=[\ln x{]}_1^{\mathrm{e}}=\ln \mathrm{e}-\ln 1=1-0=1.$$

Troisième intégrale. Une primitive de ${\mathrm{e}}^{2x}$ est $\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x}$ : en dérivant, le facteur $2$ apparaît et compense le $\frac{1}{2}$. $${\int }_0^1{\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{d}x={\left[\frac{{\mathrm{e}}^{2x}}{2}\right]}_0^1=\frac{{\mathrm{e}}^2-1}{2}\approx 3,195.$$

Point délicat. Le facteur $\frac{1}{2}$ de la troisième primitive est l'erreur la plus fréquente : la primitive de ${\mathrm{e}}^{ax}$ est $\frac{1}{a}{\mathrm{e}}^{ax}$, et non ${\mathrm{e}}^{ax}$. Le contrôle est immédiat — on dérive le résultat proposé et l'on doit retrouver l'intégrande.

Contrôle de cohérence. Les trois intégrandes sont positifs sur leurs intervalles respectifs, et les trois résultats sont positifs, comme l'exige la positivité de l'intégrale.