Trois limites en l'infini

Ce qu'on montre. Trois limites : une par factorisation, deux par croissances comparées.

Le quotient de polynômes. C'est une forme indéterminée $\frac{+\infty }{+\infty }$ : on factorise le terme dominant au numérateur et au dénominateur. Pour $x>0$, $$\frac{3x^2-x}{x^2+x}=\frac{x^2\left(3-\frac{1}{x}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\frac{3-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}.$$ Comme $\frac{1}{x}\to 0$, le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $1\ne 0$ : $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2-x}{x^2+x}=3.$$

Le logarithme contre la puissance. Le théorème des croissances comparées affirme que le logarithme croît moins vite que toute puissance positive de $x$ : $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0.$$ C'est encore une forme $\frac{+\infty }{+\infty }$, mais qu'aucune factorisation ne lève : c'est le théorème qui tranche.

La puissance contre l'exponentielle. De même, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance : $$x^2{\mathrm{e}}^{-x}=\frac{x^2}{{\mathrm{e}}^x}⟶0.$$ Ici la forme indéterminée est $+\infty \times 0$ dans l'écriture de l'énoncé ; la réécrire en quotient la ramène au cas connu.

La hiérarchie à retenir. Au voisinage de $+\infty$, et pour $a,b>0$ et $q>1$ : $$(\ln x{)}^b\ll x^a\ll q^x.$$ Chaque terme est négligeable devant le suivant : le quotient du plus petit par le plus grand tend vers $0$.