Un prolongement par continuité

La fonction $f:x\mapsto x\ln |x|$ est définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Étudions sa limite en $0$.

Par croissances comparées, $x\ln |x|\to 0$ quand $x\to 0$ : le facteur $x$ l'emporte sur la divergence logarithmique. (On peut aussi poser $x=\pm {\mathrm{e}}^{-t}$ avec $t\to +\infty$ : le produit devient $\mp t{\mathrm{e}}^{-t}\to 0$.)

La limite existe et vaut $0$, des deux côtés. Le prolongement par continuité est donc

$$\tilde{f}(x)=\{\begin{array}{ll}x\ln |x|& \text{si }x\ne 0,\\ 0& \text{si }x=0.\end{array}$$

Est-il dérivable en $0$ ? Non : le taux d'accroissement vaut $\frac{x\ln |x|-0}{x}=\ln |x|\to -\infty$. La courbe admet en $0$ une tangente verticale. Continuité et dérivabilité sont bien deux choses différentes, et cet exemple le montre au même point.