Un raccord continu, mais non dérivable

Ce qu'on montre. La valeur de $a$ imposée par la continuité, puis le défaut de dérivabilité qui subsiste.

Continuité hors de $1$. Sur $\left]-\infty ,1\right[$, $f$ coïncide avec la fonction polynomiale $x\mapsto x^2+a$, continue ; sur $\left]1,+\infty \right[$, avec $x\mapsto 3x-1$, continue. Le seul point à examiner est $x=1$, où la définition change.

Le raccord en $1$. La valeur de $f$ en $1$ est donnée par la première formule : $f(1)=1+a$. Les deux limites latérales valent $$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=1+a,\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=3-1=2.$$ La fonction est continue en $1$ si et seulement si ces trois nombres coïncident, c'est-à-dire $$1+a=2,\text{soit}a=1.$$ Pour $a=1$, $f$ est donc continue sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Dérivabilité en $1$. On calcule les deux taux d'accroissement, avec $a=1$ et $f(1)=2$.

À gauche ($h<0$) : $$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h{)}^2+1-2}{h}=\frac{2h+h^2}{h}=2+h\underset{h\to 0^{-}}{\to }2.$$

À droite ($h>0$) : $$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{3(1+h)-1-2}{h}=\frac{3h}{h}=3\underset{h\to 0^{+}}{\to }3.$$

Les dérivées à gauche et à droite existent mais valent $2$ et $3$ : elles diffèrent. Donc $f$ n'est pas dérivable en $1$.

Point délicat. Continuité et dérivabilité sont deux conditions distinctes, et la première n'entraîne pas la seconde. Ici la courbe se raccorde sans saut — elle est d'un seul tenant — mais avec un changement brusque de pente : le graphe présente un point anguleux en $(1,2)$.