Une bijection, et la dérivée de sa réciproque

Ce qu'on montre. La bijectivité par le théorème de la bijection, puis une dérivée de réciproque sans expliciter $f^{-1}$ — ce qui serait d'ailleurs impossible ici.

Continuité et stricte monotonie. $f$ est somme de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$, donc dérivable, donc continue. Sa dérivée vaut $$f^{\prime }(x)=1+{\mathrm{e}}^x.$$ Comme ${\mathrm{e}}^x>0$ pour tout réel $x$, on a $f^{\prime }(x)>1>0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Les limites aux bornes.

• En $-\infty$ : $x\to -\infty$ et ${\mathrm{e}}^x\to 0$, donc $f(x)\to -\infty$.
• En $+\infty$ : les deux termes tendent vers $+\infty$, donc $f(x)\to +\infty$.

Conclusion. $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, de limites $-\infty$ et $+\infty$ aux bornes. D'après le théorème de la bijection, elle réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur l'intervalle image $$\left]\underset{-\infty }{\lim }f,\underset{+\infty }{\lim }f\right[=\mathbb{R}.$$

La valeur $f^{-1}(1)$. On cherche $x$ tel que $x+{\mathrm{e}}^x=1$. Le réel $x=0$ convient : $0+1=1$. Par injectivité, c'est le seul, donc $$f^{-1}(1)=0.$$

La dérivée de la réciproque. La formule du cours s'écrit $$(f^{-1}{)}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))},$$ valable là où $f^{\prime }(f^{-1}(y))\ne 0$. Avec $y=1$ et $f^{-1}(1)=0$ : $$(f^{-1}{)}^{\prime }(1)=\frac{1}{f^{\prime }(0)}=\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^0}=\frac{1}{2}.$$

Point délicat. Il ne faut surtout pas chercher à exprimer $f^{-1}$ : l'équation $x+{\mathrm{e}}^x=y$ n'a pas de solution exprimable avec les fonctions usuelles. Toute l'information nécessaire est contenue dans un seul antécédent connu et dans $f^{\prime }$.